Cosa si intende per “Sezione Aurea”.

Se dividiamo un segmento (per semplicità di lunghezza 1) in due parti non uguali in modo tale che la parte più corta sta alla parte più lunga come la parte più lunga sta al segmento intero, otterremo che la parte più lunga misurerà 0,618033… e quella più corta 0,381966… Abbiamo così costruito una “Sezione Aurea”.

La “Sezione Aurea” quindi è un rapporto: il rapporto tra 1 e 0,618033… e tra 0,618033… e 0,381966…
(Un po’ come succede quando si parla del rapporto tra i due lati del rettangolo formato dalla pellicola 24X36 che hanno un rapporto di 1,5).

Questo rapporto si esprime con il reciproco di 0,618033… ovvero 1/0,618033… che dà come risultato: 1,618033…
Strano numero questo no? La serie di decimali rimane invariata!

Per precisione la “Sezione Aurea” si esprime come: 1 più, radice quadrata di 5 meno 1, fratto 2.

Da questa regolina possiamo costruire altre figure geometriche più complesse come il "Rettangolo Aureo"
Come si può notare (vedi allegato) ogni rettangolo che deriva da ogni passo successivo, è simile ovvero ha le stesse proporzioni tra i lati lunghi e quelli corti.

Oppure il "Triangolo Aureo"
Anche in questo caso, il triangolo derivato avrà sempre due angoli di 72° e uno di 36°.

La Sezione Aurea fu studiata già dai Pitagorici e fu considerato come rapporto più ...estetico che esistesse!

Venne e viene tuttora utilizzata in architettura (Il Partenone ha una struttura basata totalmente sulla Sezione Aurea) e nella pittura. Alcuni esempi molto celebri:

Veniamo a noi.
A noi fotografi che dobbiamo creare delle composizioni gradevoli, che dobbiamo suddividere lo spazio in proporzioni che seguano le regole dell'equilibrio.

Anche senza saperlo, utilizziamo molto spesso la Sezione Aurea.

Non ci credete? Ecco degli esempi di immagini realizzate da alcuni amici.
Nick: BeneKILL, Doge, mariomc2.

Curiosità:
Il matematico italiano Fibonacci (XIIIsec) che tra l'altro ebbe il merito di introdurre in Europa i numeri e la matematica araba, inventò una sequenza di numeri che prende il suo nome: Sequenza di Fibonacci.
In questa sequenza ogni numero è la somma dei due che lo precedono:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ....etc...

Da questa successione se ne può formare una di tipo frazionario
(ovvero calcoliamo i rapporti esistenti tra due numeri consecutivi):
1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, 55/34, 89/55, 144/89, ...etc...

I valori decimali di queste frazioni sono:
1; 2; 1,5; 1,666; 1,6; 1,625; 1,615; 1,619; 1,617; 1,6181; 1,6180; ...etc...
Man mano che si procede, il rapporto si avvicina sempre di più al rapporto aureo.

Anche partendo da una qualunque altra coppia di numeri, non solo da 1, 1.
Prendiamo due numeri a caso: 9 e 3.
9, 3, 12, 15, 27, 42, 69, 111, 180, 291, 471, ...etc...

Le frazioni:
3/9, 12/3, 15/12, 27/15, 42/27, 69/42, 111/69, 180/111, 291/180, 471/291, ...etc...

I loro valori decimali:
0,333; 4; 1,25; 1,8; 1,555; 1,643; 1,609; 1,622; 1,617; 1,618; ...etc...

Alla fine si arriva sempre lì: Al "Numero d'oro" come era chiamato. 1,618.

Ovvero qualunque sequenza di questo tipo a prescindere da quali siano i due numeri iniziali, converge alla "Sezione Aurea".

Ne avevo sentito parlare, ma sapevo solamente che in epoca Rinascimentale la "sezione aurea" aveva avuto una grande importanza non solo nel campo della scienze matematiche ma anche dell'architettura.
Certamente, dopo questa ennesima lezione di teoria e pratica, impartitaci da Ludovico, tutto mi è più chiaro.
Saluti

Franco

FAVOLOSO, FANTASTICO Ludovico
Finalmente una spiegazione chiara e pratica di cosa è e di come si usa la sezione aurea.

Complimenti e grazie davvero

Franz

grazie Ludovico per la preziosa lezione,
conoscevo la sezione aurea ma devo dire che tu l'hai trattata veramente bene e soprattutto con esempi.

aggiungo una cosa da quasi ingegnere civile con passione e orientamento per l'acustica e la musica: se volete sentire bene il vostro hi-fi in casa, sistematelo in una stanza in cui il rapporto tra altezza,larghezza e lunghezza segua la sezione aurea esattamente.

eviterete riflessioni parassite e altro. sembra una pazzia ma le onde sonore sono sensibili a tale rapporto. i più grandi progettisti di sale da concerto e casalinghe e studi seguono tale rapporto.

Ciao!

ovviamente il mio consiglio vale se la casa dovete costruirvela non demolite tutto per seguire il mio consiglio

Grazie, Ludovico, per queste preziose informazioni, e io che ero rimasto alla semplice regola dei terzi (che è poi la base dell'.... aureità )

Perchè non disegnare uno schermo di messa a fuoco "aureo"??? potrebbe essere una bella idea!

E ponetevi per l'ascolto esattamente sul vertice del triangolo aureo...

Grazie per l'esauriente spiegazione, sono concetti che inconsciamente tutti abbiamo dentro ma dei quali non abbiamo la teoria... Conoscevo la sezione aurea, conoscevo la sequenza di Fibonacci (il "codice da Vinci" docet...) ma non sarei mai riuscito a spiegare tutto ciò così bene...

Grazie per l'interesssate spunto Ludofox!
Argomente veramente interessante e aggiungerei anche mistico!

1.618... etc è un numero presente in tantissime cose, definito in tantissimi modi e anche oggetto di culto, era alla base di alcune religioni pagane molto antiche che adoravano la natura (o madre natura).

Alcune curiosità su questo numero:
Prima di essere stato utilizzato dall'uomo per erigere edifici (ad esempio le piramidi) la natura ha pensato bene di "infilarlo" in tantissime cose compresi gli esseri umani.
Magari non ne siete consapevoli ma voi site un concentrato di questo numero.
Provate a dividere la lunghezza totale del vostro braccio per la lunghezza dal gomito alla spalla et voilà otterrete il numero aureo.
Stesso discordo per altezza totale diviso l'altezza dall'ombellico fino a terra.
Le dita non esulano da questo rapporto e così via per tante tante altre parti del corpo.
Il primo che scoprì questi rapporti è stato proprio DA Vinci, che nei suoi studi di medicina (sezionava i cadaveri per studiare il corpo umano) ha "scoperto" tale magnifica "coincidenza".

La sequenza di fibonacci (tra l'altro scoperta dallo stesso quasi per caso durante una gare di matemati per stabilire chi era il più veloce nei calcoli) poi è un'altro esempio di matematica mistica: è presente in natura in tantissime cose.
Il numero delle parti (scusate adesso non mi viene il nome esatto) che compone un pigna, ad esempio, è sempre un numero appartenente alla sequenza di Fibonacci.
Le foglie di un albero crescono seguendo tale sequenza, non vi ammorbo con le spiegazione dettagliata , e così via

Altro esempio di perfezione è la stella di David (quella a cinque punte per capirci) la quale è il numero aureo per definizione.

Perdonate la semplicità delle "spiegazione" ma spero di avervi incuriosito e stimolato a continuare le ricerca su internet..... fonte inesauribile di preziose (e molto più precise delle mie ) informazioni.
Ciao

...non ho parole...

Ludovico, la tua esperienza (e soprattutto la tua voglia di condividere con noi le tue conoscenze) è un inestimabile valore aggiunto al nostro forum! (e spero che gli altri "mostri sacri" non me ne vogliano )



Stefano

Ludovico non finisci mai di stupire!

Grazie e complimenti per le tue capacità , conoscenze , ma soprattutto per la tua 'VERA' passione che hai trasformato in lavoro!

Vado un po controcorrente ..... perdonatemi.

Regole auree .... 2/3 .... ecc.

Non ho mai capito (pur conoscendole) se servono per giustificare una innata propensione compositiva/creativa ....o per rinchiudere le opere in uno schema di parametri di valutazione .... caro ai critici, e sul quale basare tutte le teorie ..... o l'esatto opposto.

Non è forse vero che le opere più geniali .... sono quelle che rompono gli eschemi ...?

Quante sono le misure che coincidono con i "numeri magici" .... tantissime.

Ma di più sono quelle che non si avvicinano nemmeno a tali numeri .... ma di queste nessuno ne parla ....

Naturalmente un sincero grazie a Ludovico, che con pazienza e professionalità ci fornisce queste perle di conoscenza sulle quali è giusto riflettere.

Quindi ... impariamole tutte ... e infrangiamole con consapevolezza.

Ciao Andrea sarò breve perché in realtà ciò che sto dicendo è un OT, ma se ti interessa potremo continuare in MP.

L'interessante teoria dell'applicazione del Rapporto Aureo alla Natura è e rimarrà sempre assolutamente una teoria nata nei greci per descrivere dei rapporti "classici" ma assolutamente non applicabili quale regola agli accadimenti umani. Alcuni culti/credenze hanno poi fatto loro tali teorie (sono comparsi anche libri di scrittori più o meno illustri che abbracciavano tale teoria applicata in maniera un pò avventata alla natura).
Alcuni anni fa mi incuriosì tale teoria e consultai anche alcuni ortopedici per verificare la reale fondatezza e fu smentita clamorosamente.

Riguardo alla sequenza di Fibonacci e il suo campo pratico: nella realtà è assolutamente impraticabile:
ES. pensa un albero con 28657 foglie se il tutto fosse corretto questo povero albero sarebbe costretto a mettere di colpo 17711 gemme per poter seguire la regola e la volta dopo ben 28657...

Affascinante il mondo delle leggende metropolitane...

[/quote]

..........

Affascinante il mondo delle leggende metropolitane...

[/quote]

Non sono d'accordo.....
Comunque come dici non andiamo oltre siamo OT.
Ti mando un po di materiale via MP appena ho tempo.
Ciao

p.s. Riguardo agli alberi non intendevo il numero delle foglie bensì la loro dislocazione sul fusto.

Assolutamente d'accordo kurtz. Per poter infrangere le regole, occorre conoscerle però molto bene.

E conoscere bene le regole vuol dire poterle (come dici tu) infrangere sapendo cosa si sta facendo. Sennò si va un po' a casaccio.

Io penso che in generale, l'equilibrio di una composizione sia la risultante di una divisione ben precisa dello spazio.
E forse questo rapporto 1,618.. è innato. O forse è un condizionamento determinato da moltissimi esempi in natura che sottostanno (più o meno) a questa regola.

Del resto con la musica è la stessa cosa. Anche in culture diverse e che hanno avuto pochi contatti (o nessuno) si è sviluppata la stassa scala tonale fatta di mezzi toni e non di quarti di tono o di terzi di tono. Evidentemente nel nostro cervello esiste una sorta di quantizzazione della musica che ci fa adottare come minimo salto il mezzo tono.

Carissimo Fabio.

Non vorrei che mi avessi frainteso. Non ho parlato di numerologia, di numeri magici o di culti e credenze. Ne tanto meno di leggende metropolitane.

Ho parlato di matematica applicata all'arte visuale.

Sul fatto poi del rapporto che la natura ha con il nostro numero, allego un esempio abbastanza emblematico.

Vorrei inoltre condividere con voi una mia convinzione, forse un po' fuori tema.

Il mio ...orrore quando viene a galla (purtroppo spesso) il luogo comune che vorrebbe arte e scienza due aspetti della cultura assolutamente in antitesi e assolutamente inconciliabili. Nulla di più sbagliato credo!!!

La musica segue regole matematiche.
L'arte visuale, lo abbiamo visto, pure.

L'eleganza di un'equazione matematica che spiega come funziona il mondo fisico che ci circonda (una per tutte E=mc2) è altrettanto emozionante quanto contemplare un capolavoro della pittura!

Einstein o Bhor, Pauli o Heisemberg - tanto per citarne solo alcuni - sono stati personaggi tra i più creativi del secolo appena trascorso.
Hanno messo in gioco tutta la loro vita al servizio della loro inestinguibile passione: la fisica teorica.
Che differenza c'è con un artista?

La curiosità, la sana curiosità è la caratteristica principe dell'essere umano.

Capire perchè ...capire come, quando! ... E l'umiltà di avere, lungo il corso della nostra vita, una sola certezza: La certezza di avere ancora molto da imparare.

Si ...un po' fuori tema ma volevo dirvelo lo stesso!

Grazie a tutti!

Ops, forse ho frainteso io!!!
Scusami Fabio!

Eppure si suonava e si faceva musica ... ben prima dell'avvento della matematica.

Ecco cosa mi fa essere dubbioso.

Nell'esempio che hai allegato, potremmo da scettici asserire che la massa del soggetto occupa 1/4 dell'area ..... e con questo.

Crediamo che quella conchiglia ( è una conchiglia vero ?) abbia fatto di conto nella sua milionaria evoluzione....?

Oppure molte ( non tutte naturalmente) delle regole che creiamo e cerchiamo di applicare a tutto .... sono solo un disperato bisogno di giustificare la nostra esistenza ....?

E quante altre conchiglie hanno forme non riconducibili a nessuno schema matematico...?

Siamo sicuri che tra molti anni, le stesse regole che scriviamo e che applichiamo .... non saranno stravolte alla luce di nuove e più ampie conoscenze ....?

Fino a poco tempo fa la Terra era il centro dell'universo ..... e chissà se fra qualche secolo anche il famoso E=mc2 non segua la stessa sorte.

Sia ben chiaro Ludovico, che non mi contrappongo a quel che dici per pura polemica, ma esterno un pensiero un po più dubbioso e critico circa le gabbie nelle quali vogliamo restringere la creatività della Natura e dell'Uomo.

Ma forse la mia è solo ignoranza ... e scusate l' O.T.

È molto probabile, Fabio, e possiamo immaginare che la prima 'musica' ripetesse in qualche modo il battito cardiaco, ma all'istintivo tam tam succede nel tempo proprio la fissazione di regole. La leggenda vuole che sia stato Pitagora ad accorgersi dei rapporti musicali ascoltando un fabbro battere sul metallo, e la cetra greca li ha fissati stabilendo la lunghezza delle corde in 6, 8, 9, 12, che hanno tra loro precisi rapporti armonici. Le note che utilizziamo tutt'oggi corrispondono a precisi rapporti aritmetici (ma dovrei dire armonici), che sono sostanzialmente:

ut 1
re 8/9
mi 4/5
fa 3/4
sol 2/3
la 3/5
si 8/15
do 1/2

È improbabile che il Nautilus pompilius abbia imparato a far di conto, com'è improbabile che un cristallo cubico abbia studiato Euclide e i solidi platonici...

Forse è questo è il punto. Platone diceva che Dio geometrizza tutto, e in definitiva Einstein gli faceva eco quando affermava che Dio non gioca a dadi (cioè non lascia al caso...), ma è ovvio che per accettare queste affermazioni bisogna accettare che Dio esista, e qui la questione si fa complessa...

Certamente l'uomo ha un bisogno d'ordine, tant'è che in fondo le opere d'arte hanno valore proprio per la loro rarità formale, cioè perché introducono un ordine nel mondo. È improbabile che tirando una secchiata di colori sulla tela ne scaturisca un ritratto... E anche un consorzio civile tenta di stabilire un ordine. La scienza si fonda proprio su ciò, giacché studia esclusivamente i fenomeni che si ripetono, e anche la ripetizione è un ordine...

Certamente l'universo ha un ordine, altrimenti non potremmo prevedere a che ora avverrà l'alba di un determinato giorno e dove si troverà saturno tra sei anni, due mesi, tre giorni, quattro ore e cinque minuti. E poiché nessuno ha stabilito questi ritmi, diciamo così, ne ricaviamo l'idea che la natura segua determinate regole, e tentiamo di intenderle, e magari ripeterle.


Naturalmente no, ma questo è un nostro limite, non della natura...

Tornando alla sezione aurea, la ragione per cui può essere riscontrata nella natura si fonda sul fatto che implica un fattore di crescita costante. A me sembra che più l'organismo è semplice, e più visibile è la sua struttura geometrica. Viceversa più l'organismo è complesso e meno visibile è la sua struttura geometrica.

Un buon testo per affrontare questo problema evitando Dan Brown e chi l'ha preceduto è D'Arcy Thompson, Crescita e forma. D'Arcy Thompson è di parte, cioè sostiene che la natura si basi su leggi formali e strutturali, ma da grandissimo scienziato e biologo qual era, e quindi cerca di dimostrarlo alla maniera scientifica, con dati alla mano. Comunque un libro affascinante, edito da Boringhieri ormai troppi anni fa.

Nessun problema Ludovico,
infatti sono assolutamente concorde sulle tue affermazioni riguardante il rapporto aureo quale metro estetico delle proporzioni, anche se in realtà lo condivido in toto solo quando parli di rettangolo aureo, molto meno nell’applicazione dei triangoli.
Nei miei studi l'età classica e le proporzioni classiche mi hanno sempre affascinato e ancor adesso i miei progetti architettonici ne sono notevolmente influenzati.

Sono, come già espresso, molto più scettico nel voler semplicisticamente vincolare la natura in un rapporto. Infatti se alcune forme naturali si possono avvicinare a questo rapporto, per poterlo far diventare una legge o in alcuni casi quasi scienza esso deve potersi manifestare in ogni campione preso quale riferimento. Uno schema geometrico forzatamente (e in alcuni casi maldestramente) inscritto o circoscritto in una forma naturale non significa assolutamente nulla se non comprovato dalla ripetibilità dell’evento: la geometria non è una approssimazione, il resto sono coincidenze.

La fotografia è sicuramente un campo ove la riproduzione è regola: quindi ne consegue che l'estetica del rapporto aureo è nel nostro campo assolutamente riproducibile e utilizzabile.

Fabio esprime bene il mio pensiero. Ho scritto prima che la sezione aurea «può essere riscontrata nella natura», ma si presta a confusioni. meglio dire che può essere riscontrata in alcuni fenomeni naturali. Ridurre la complessità della natura alla sola sezione aurea sarebbe ovviamente troppo semplistico e generalizzante.

Un'unica osservazione a quanto ha scritto Fabio. Secondo me poni un crinale troppo netto tra geometria, approssimazione e coincidenze. Infatti la geometria va intesa, nel mondo naturale, come modello strutturale e di sviluppo. In altre parole possiamo dire che una determinata forma organica tende a un determinato modello (ricordo bene gli studi di D'Arcy Thompson sui femori degli Ungulati...), ma ovviamente vi sono molteplici altri fattori da tenere in considerazione, quali quelli ambientali e così via.

Effettivamente la conchiglia del nautilus pompilius si approssima parecchio alla spirale aurea basata sul rettangolo aureo, ma un periodo particolarmente negativo -riduzione delle risorse alimentari, per esempio- può rallentarne la crescita e modificare la sua approssimazione al modello.

Se torniamo alla fotografia, effettivamente anch'io trovo più opportuno l'uso del rettangolo aureo, rispetto ai triangoli, ma francamente preferisco utilizzare le modulazioni implicite nei formati tipici. Il 24x36 e il 6x9 sono formati in 2/3 (corrispondente al sol), e mi sembra più logico esaltare questo formato utilizzandolo anche per le scansioni interne, cioè per la distribuzione degli spazi e dei rapporti. Altrettanto direi per il 3x4 (corrispondente al fa), tipico delle compatte, della Tv, e così via. Non ho mai usato il 4x5" (corrispondente al mi) del grande formato, ma farei altrettanto in questo caso.

Carissimi Fabio e Nico.

Brevemente sulla regola "Aurea" in natura.

Secondo me ha detto bene Nico: "...possiamo dire che una determinata forma organica tende a un determinato modello"

Le regole e le leggi della geometria sono per definizione regole fisse. Quello che vediamo però è la tendenza che alcune manifestazioni della natura ci rivelano.
Anche il triangolo, nella geometria euclidea ha una regola ferrea: la somma degli angoli interni è di 180° ma quando noi descriviamo un triangolo su una superfice sferica (la Terra che abitiamo ad esempio), sappiamo che non è vero. Facciamo un'approssimazione molto vicina se tracciamo un triangolo piccolo, ma se dovessimo descrivere un triangolo che ha come vertice il Polo Nord, come lati il meridiano 0° e quello 90° e come base l'equatore, avremo un triangolo equilatero i cui i lati interni formano angoli retti, con la conseguente somma di 3 X 90° = 270°.
Ma questa è un'altra storia.....

Tornando invece al tema.
Vorrei riproporre la foto di mariomc2, e far notare la quasi perfetta linearità sull'asse verticale delle due teste delle ballerine in piedi e l'anca di quella seduta.

Forse una coincidenza, ...forse una ricerca forzata di strutturare entro gabbie e schemi un'immagine casuale, ...ma il sospetto che anche il coreografo si sia studiato la "Sezione Aurea" è, mi sembra, abbastanza fondato.

Ma la matematica non detta le leggi, le spiega.
Forse stai facendo un ragionamento inverso.
La matematica ci spiega perchè la conchiglia si è evoluta così ...nonostante l'assoluta ignoranza in merito del Nautilus!

Quante conchiglie hanno forme non riconducibili a nessuno schema matematico?
Bhè ...probabilmente nessuna! io credo.

E poi: "Fino a poco tempo fa la Terra era il centro dell'universo ..... e chissà se fra qualche secolo anche il famoso E=mc2 non segua la stessa sorte".

Anche qui ho qualche dubbio: Il nostro GPS non potrebbe funzionare se non si tenesse conto della deformazione temporale descritta in modo esemplare da Einstein nella sua "Teoria della Relatività".
Sbaglierebbe a darci la nostra posizione sulla Terra con un errore dell'ordine di 11,4 Km/ora.

Gli effetti della "Relatività" di Einstein sono stati verificati sperimentalmente per un secolo intero ormai (La sua teoria risale appunto al 1905) con risultati sistematicamente corretti e con una ricaduta tecnologica insospettabile!

Azz...stavo già per spaccar tutto

A.

Molto interessante, in effetti il problema è dovuto al fatto che i vari effetti relativistici (Speciali e Generali) dovuti a velocità del satellite, massa gravitazionale della terra, etc. etc. porterebbero ad accelerare l'orologio sul satellite (fondamentale per il calcolo dell'effetto doppler e per la misura della distanza tra emettitore e ricevitore) di 39 milionesimi di secondo al giorno rispetto all'orologio sulla terra. Tale scostamento, se non corretto, genererebbe l'errore di posizionamento.

Però è anche vero che E=mc2 assorbe F=ma non la nega, ovvero inquadra e spiega la teoria Newtoniana (anch'essa dimostrata sperimentalmente e quindi riproducibile in determinate condizioni) in termini e circostanze più generali.
Per il futuro siamo alla ricerca della GUT (teoria grande unificata) che, una volta trovata e dimostrata sperimentalmente, è facile prevedere che ingloberà al suo interno la teoria della Relatività Generale.
Insomma non mi sento di affermare che la teoria della relatività è definitiva...nessun vero "relativista" potrebbe affermare una cosa del genere!

Invece la teoria tolemaica non era basata sul metodo galileiano e per questo fallace.

Bella discussione, complimenti a tutti quelli che hanno dato il loro contributo!

Concordo.
Non avevo voluto approfondire l'argomento GPS per non andare così lontano dal tema, ma visto che ci siamo...
La tua spiegazione è perfetta: La combinazione degli effetti relativistici determinati dalla velocità dei stelliti e dal minore effetto del campo gravitazionele terrestre su di essi.

Concordo in parte sulla relazione tra teoria gravitazionale di Newton e la Relatività Generale di Einstein:
In effetti Einstein ha dimostrato che la teoria di Newton è concettualmente sbagliata, ma in condizioni "normali" è un'approssimazione così vicina da poter essere presa per buona. Gli scostamenti tra le due teorie ci sono ma diventano irrilevanti.
La sonda Cassini che il 1° Luglio 2004 è entrata nell'orbita di Saturno (partita dalla Terra nel '97) è arrivata all'appuntamento dopo un viaggio di 7 anni, una traettoria che ha sfruttato vari fly-by (effetto fionda) con Venere, Marte, Terra, Giove. Tutto questo è stato calcolato con precisione millimetrica adoperando probabilmente la Teoria Gravitazionale di Newton.

Altra cosa quando le condizioni diventano estreme: velocità che sono dell'ordine di percentuali consistenti della velocità della luce, campi gravitazionali di Pulsar, Quasar, Buchi Neri, etc...

OK...Più fuori tema di così ....ma quando si parla di fisica ...non resisto!

Grazie Led

Bella la discussione!

C'e' un pittore che vale per tutti in termini di utilizzo geometrico della sezione aurea: mondrian.
Cmq volevo solo portare il mio contributo ricordando come la Cabala stessa si basi sulla sezione aurea, e come la stessa lingua ebraica sia costruita nel suo stesso alfabeto nel rispetto delle regole numeriche della sezione aurea (gematria).
Vi basti sapare che la trasposizione gematrica dei nomi della famiglia (padre, madre, figlio.. etc...) costituiscono i vertici dei quadrati aurei che generano la spirale...

Date un'occhiata a questo sito,8(http://www.goldenmeangauge.co.uk/golden.htm)io essendo odontotecnico utilizzo un compasso per la sezione aurea,molto utile anche in fotografia.
Spero possa essevi utile

Bell'aggeggino!
Sarebbe divertente averlo.

Benvenuto, caro vvegnani.

Per inciso, qualunque guscio di chiocciola o di conchiglia marina spirale segue la sezione aurea.
Saluti

Io, nella mia libreria, ho due testi che consiglierei a chi volesse approfondire questo argomento. Non so se già li conoscete.

C. Bouleau
LA GEOMETRIA SEGRETA DEI PITTORI
Electa
(grazie a voi ho ricordato che questo libro l'ho prestato e ancora devono restituirmelo)

Mario Livio
LA SEZIONE AUREA. Storia di un numero e di un mistero che dura da tremila anni.
Rizzoli

Saluti a tutti

Questa è una delle leggende acustiche più dure a morire.
La sezione aurea è un approccio più che discreto ai rapporti dimensionali di una sala da concerto. Tuttavia non è la soluzione migliore sia sotto l'aspetto ingegneristico sia sotto l'aspetto musicale.
Uno studio esaustivo sull'argomento fu condotto utilizzando un mainframe IBM (presumibilmente di proprietà della Regione Lazio) da un giovanissimo ingegnere che poi divenne uno dei migliori progettisti mondiali di casse ed altoparlanti.
La crisi dell'elettronica civile italiana lo costrinse a riciclarsi e fu un vero peccato ma questa è un'altra storia.....
Gufo

Per chi fosse interessato vorrei segnalare che i rapporti di fibonacci vengono utilizzati anche in analisi tecnica dei mercati finanzari per visualizzare supporti e resistenze dei titoli azionari. Non mi dilungo di piu' perche' non penso siano tutti interessati a questo approccio.

Ciao
nino

Dire che si suonasse prima dell' "avvento" della matematica per cui la matematica non e' la base del suono mi pere un po' scorretto.
Il fatto che l'uomo non conoscesse la matematica non implica che la musica viva senza matematica.

La crescita di una conchiglia e' OVVIAMENTE regolata da chimica, fisica e matematica, che poi sono legate tra loro nell'ordine citato.

Non e' un caso che tutto quel che crea la natura sia generabile tramite formule matematiche (sono relatore di un corso in tal proposito).

Per fortuna la natura include un piccolo fattore, detto chaos, che altri non e' che l'ennesima regoletta, matematica, fisica o chimica che sia. La defginiamo chaos perche' semplicemente non la comprendiamo o non la possiamo percepire. Ma e' un difetto umano, non l'assenza di una "regola".
Sara' poco artistico, ma tutto (o quasi) e' ricollegabile alla matematica.

Se esistesse un computer in grado di memorizzare e gestire una mole cosi' spropositata di dati e formule, saremmo addirittura in grado di ricreare un perfetto granello di sabbia. Purtroppo per ora possiamo solo simularlo in un modo che la natura giudicherebbe piuttosto maldestro.

La stessa fotografia e', dal nostro punto di vista, precisa e fedele al soggetto, ma immaginatevi cosa ne penserebbe "la natura" se gli facessimo vedere un paesaggio ?? Probabilmente urlerebbe allo scandalo poiche' il risultato (poiche' non e' stato crato con le stesse regole dell'originale) non vi somiglia per nulla.

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L'idea è ottima e, a mio avviso, facilmente realizzabile. Il mio suggerimento a Nikon (personalmente posseggo una D70) è quello di modificare il reticolo richiamabile sullo schermo di messa a fuoco, pensato come aiuto nelle foto di architettura, che attualmente lo divide in 4x4 settori e non in 3x3. In tal modo risulterebbero comunque agevolate le inquadrature di edifici e monumenti, e sarebbe molto più immediato il rispetto della regola dei terzi che, come dici giustamente, sottende in qualche modo - quanto meno intuitivo - alla più precisa sezione aurea.

Alessandro

Molto chiaro ed interessante,copiando i vostri calcoli ed esempi,ho pensato di riportare le proporzioni su dei telaietti dia ed usarlo quando possibile come mirino .Cosa ne pensate
ciao giorgio

Ciao,
per quanto riguarda la questione delle foglie, numero di gemme sugli alberi non credo la sezione aurea sia lo strumento più adeguato per cogliere la natura dell'albero in termini matematici. Lo studio della geometria frattale, e dei rapporti di autosimilitudine credo sia più indicata in tema (vedi Mandelbrot e il suo studio ad es. su come misurare l'esatta lunghezza della costa inglese).
Ciò non toglie che numerosi studi abbiano dimostrato la strana importanza di questo rapporto in molti campi. Ad esempio in finanza. Chi studia da vicino l'andamento dei mercati sa che al di là del flusso delle informazioni, quotazioni, ciò che da vita al su e giù del mercato è una "malgama" di milioni di opinioni diverse sullo stesso fenomeno e le conseguenti reazioni di chi ha quelle opinioni. Beh a quanto pare la mente collettiva che spinge il mercato (da non confondersi con la mano invisibile di Adam Smith) spesso si diverte a seguire la proporzione aurea (chiedere a un chartista per conferme :-) e non solo, ma pare che i frattali di Mandelbrot possano fornire risultati importanti.

Nella composizione fotografica credo possa essere uno strumento utilissimo per comporre immagini piacevoli. Ciò non toglie che anche variando si possano ottenere belle immagini, ma chissà perchè la mente umana pare gradire parecchio tale rapporto nella disposizione.

Mi aggiungo al consiglio di leggere al riguardo Mario Livio (oltre al libro sulla sezione aurea ci sono un paio di altri suoi testi su argomenti matematici; si leggono molto facilmente anche senza un laurea in matematica e sono abbastanza divulgativi da non essere "mattoni" per iniziati).

Ora mi domando se ritagliando con photoshoppe alcuni scatti riesco a migliorarli....
uhm...

ciao
Andrea

Pari pari al Codice da Vinci

Ciauzz

Credo che i calcoli fatti su dimensioni morfologiche possano essere fuorvianti: non credo che ci siano stati uomini di scienza che si siano occupati di misurare con precisione la distanza tra naso e mento in rapporto con l'altezza dell'intero viso o cose simili, per altro definizioni aleatorie, in migliaia di individui, al fine di ottenere un campione statistico significativo sul quale fare una media sensata.

Per altro sono consapevole che vi siano dei visi che oggettivamente sembrano belli e altri che sembrano clamorosamente sproporzionati: il senso comune del bello (meno restrittivo del bello soggettivo) potrebbe a mio parere essere basato su proporzioni (di distanze, di colore, di luce, di angoli...).

Mi permetto di aggiungere un dato oggettivo a quanti già citati nei precedenti post. Per evidenziare il fatto che la natura si comporti seguendo alcuni rapporti noti occorrono numeri facilmente riproducibili e oggettivi (vedi il discorso del campione significativo). Studiando la molecola del polietilene (più precisamente il dietilene - C4H6) si analizzano i legami ibridi tra i quattro atomi di carbonio e si vede che (per farla breve) le differenze di energia tra stati eccitati della molecola sono in rapporti del tipo 1,618... o 0,618... . Questi sono conti eseguiti con tecniche rigorose (seppur con algoritmi approssimati) utilizzando le leggi della meccanica quantistica e sono stati verificati sperimentalmente.

Se pensate che sia una molecola come tante, provate a pernsare quante cose si possono fare con il polietilene e quante applicazioni diverse: è una molecola utilizzatissima in molti campi!!



Tornando a bomba, sono sempre molto scettico quando leggo numeri precisi in natura e mi chiedo come possono essere ottenuti e quale significato possono avere. Sono consapevole del fatto che una composizione che piace possa essere ricondotta ad una quanche approssimazione della sezione aurea, tuttavia mi sembra poco sensato inseguire questo risultato in modo scientifico (forse poco creativo), meglio è pensare a fotografare con un occhio di riguardo ad alcune regole di base e farsi guidare dall'esperienza (cosa di cui deficito parecchio per altro). In quest'ottica (scusate il gioco di parole) mi sembra poco sensato un possibile utilizzo di un mirino aureo: già con il mirino diviso in terzi o in quarti è difficile trovare una composizione perfetta e credo che una composizione aurea stia tra i due mirini: già richiederebbe una precisione maniacale!!

Credo che una buona foto sia frutto di una serie di scelte che dopo un certo numero di scatti vengono dettate dall'esperienza, non da phi (lettera greca che indica il rapporto aureo). Poi le due cose potrebbero coincidere (come no).


Buona notte a tutti

PS: contate le pecore prima di addormentarvi, quelle che vi mancano sono in rapporto 0,618 con quelle che avete già contato!!

l'argomento e' sicuramente interessante e la sezione aurea è stata ed è tuttora uno strumento base per la rappresentazione della perfezione, ma a me piace più pensare alla foto, e quindi all'arte, come un istinto, un'esternazione relativamente consapevole dell'incoscio, una soggettività che nn deve essere accostata a qualcosa di così universale come la matematica. La mia nn vuole essere una critica, dato che la sezione aurea spesso si ritrova a posteriori anche nei lavori prodotti istintivamente, ma sentir parlare di griglie con la sezione aurea... per me una bella immagine è quella che evoca una profonda emozione, un contatto con qualcosa di sconosciuto e piacevole, non una ricerca razionale della perfezione.

E SE VI PIACE L'ARGOMENTO SEZIONE AUREA GUARDATE IL FILM:
P GRECO - IL TEOREMA DEL DELIRIO

Anche in musica ci sono stati grandi personaggi che hanno sfruttato queste teorie per le loro composizioni e non penso proprio che anche vecchi compositori quali Bach o Mozart non conscessero questi rapporti matematici mi ricordo tempo addietro di aver sfogliato proprio un testo molto interessante dal titolo Gödel, Escher, Bach: un'Eterna Ghirlanda Brillante.Sarei felice di sapere se qualcuno di voi lo avesse mai letto.A presto Vincenzo.

P.s.
Sei un grande Ludovico!

L'ho letto a spizzichi e mozzichi nel corso degli ultimi ... 15 anni?
Ogni volta che lo riprendo (in media una volta all'anno) ne leggo la 0,618ma parte di quello che avevo letto la volta precedente.
Sarà un caso?
Considerato che sono circa a 3/4 entro quanti anni lo finirò?

Ma così non lo finirai mai!

Forse nel corso della mia vita terrena no...però si tratta comunque di un numero finito di anni, perché il numero totale di parole del libro appartiene all'insieme dei numeri interi: arrivato all'ultima parola difficilmente riuscirò a leggerne solo la 0,618ma parte!



P.S. mi mancano circa 14 anni per arrivare all'ultima parola, facendo i dovuti scongiuri potrei anche farcela.
Rifacendo i calcoli mi sono però reso conto che finora ho battuto la fiacca, se realmente avessi applicato sin dall'inizio la regola che ho detto starei già per finire...miracoli della sezione aurea!

Io sapevo che anche i pianeti si muovessero seguendo tale numero